◆光は何故潰れない-2:式計算編

 ローレンツ短縮は起こるのか？

このブログのごく初期の記事 ◆光はなぜ潰れない；今更きけない相対論Q&Q でローレンツ収縮など起きないのではないかと書きました。

記事では、根拠として収縮には原点が必要だが、ローレンツ収縮は空間のいたるところで同等であるはずなので、特定の原点で収縮するわけがないという点を上げました。

また記事 ◆空間に関するローレンツ変換は同時刻補正に過ぎない では本記事と同様の主張をしましたが、計算の途中を示しませんでした。 本記事は式の確認を手順を追って進めたものです。「先端と後端の時刻差は観測されない」点は前の記事であやふやになっていたので、明確にしました。

 ローレンツ短縮式再考

今回はローレンツ変換の数式を見ながら、ローレンツ収縮式のどこが間違っているのかを示します。

$L=\frac{\mathrm{L0}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

ここで、L0は移動系での物体の長さで、Lは観測系での長さです。

そもそも長さとは先頭と最後が同時刻でなければなりません。

この式上に直接おかれたL0の先頭と最後は観測系では同時ですが、移動系と観測系では同時性に差がありますので、移動系の同時性を考慮した補正をした上で変換式に取り込む必要があります。

この補正をした長さをL0'とします。

$L=\frac{\mathrm{L0\text{'}}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

この式を「系間同時性差に配慮したローレンツ短縮式」と呼びます。

L0'を求めます。

先ず、繰り返し出現するローレンツ因子をγと定義しておきます。

ローレンツ変換の時間成分：

$\mathrm{t\prime }=\gamma t-\frac{v}{c}x$

ここでγは次のものです。

$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\frac{v}{c}}^2}}$

このうち「観測系の同時刻での距離測定」を移動系の同時刻にマッピングするには、

$\mathrm{\Delta t\prime }=0$

すなわち：

$0=\gamma \mathrm{\Delta t}-\frac{v}{c}\mathrm{\Delta x}$

これを解くと：

$\mathrm{\Delta t}=\frac{v}{c}\mathrm{\Delta x}$

これが同時補正での時間差です。

このときの座標変換量：

$L_0\prime =L_0\times \gamma$

となります。

これを「系間同時性差に配慮したローレンツ短縮式」に代入します。

同時補正後の長さ：

$L_0\prime =L_0\times \gamma$

ローレンツ変換による L の算出：

$L=\frac{L_0}{\gamma }$

これに L0' を代入：

$L=\frac{L_0}{\times }÷\gamma =L_0$

つまり、「長さ短縮など起こらない」ことになります。

これは実際の観測結果に合致しています。

 先端と後端の時刻差も観測されない

移動系の固有時間は観測系より遅くなります。
そのため移動方向に尺を進める程、時刻が遅れていると計算されますが、移動系での同時が観測系では同時でないと観測されることはありません。
観測されるのは「移動系はどこをとっても等しく時間の進みが遅い」ということだけです。

先端がB点、後端がA点にある物質が、速度遷移を起こしたとします。
速度が変わっても観測系で観測する長さは|A-B|のままです。物体の先端と後端に時計がある場合、先端と後端の時計も同じ時刻を示します。時計の進みはともに観測系より遅くなりますが、差がでることはありません。

冒頭の絵もここにも載せます。