△「∀と∃」は破綻したアホクサ論理学？
遥か以前、初めてこの「∀x、∃x、P(x)」による記号論理学について学んだとき、
- 何じゃこりゃ。英語が型を述べられないから、型を表すために変な表記持ち込んだだけじゃん
と、思いました。で、ちょっとcatGPT遊びを。
「∀x、∃x、P(x)」は英語のために作られた。
記号論理学/述語論理学における基本記号は次のものです。
| 記号 | 名称 | 意味・用法 |
| ∀x | 全称量化子 | ∀x P(x)：いずれのxについてもP(x)が成り立つ※ |
| ∃x | 存在量化子 | ∃x P(x)：あるxが存在してP(x)が成り立つ |
| P(x) | 述語 | xについての性質や関係を表す |
※：「すべてのx」と表現される事もあるが、厳密には「いずれのx」または「任意のx」が正しい。
ここでP(x)のxはインスタンス/個体であって型/種(kind)は受け付けられません。
これは型について述べる能力を持たない英語のような特殊な言語発想で、型を扱うために持ち込まれた仕組みであることは明らかです。
例えば「鳥」という型に関して「飛ぶ」という命題が成り立っている場合、
- 日本語では『「鳥」は「飛ぶ」』と型に関して述べます
- 英語では『「birds」「fly」.』と鳥の複数個体に関して述べます
英語では「型」を直接取り扱えないのです。
- This is an apple.
- I like apples
そこで持ち込まれたのが∀x：全称量化子なのですが、これが困ったことに非可算名詞では機能しないのです。
非可算名詞はどうなる？
「水は沸騰する」はどうなるかchatGPTに聞いてみました。
✅ まとめ：非可算名詞における述語論理の対処法
表現 代表的記述方法 備考 (1)水は沸騰する Boils(Water) 種ベース（簡潔） (2)水は沸騰する ∀x (WaterSample(x) → Boils(x)) 個体を仮定した普遍量化 (3)水は沸騰する ∀x (x ⊆ Water → Boils(x)) 部分集合モデル
となり、(1)は∀xを放棄しており、(2)はa cup ofに近い無理やり計量でインスタンス化したもので、(3)は部分集合とは言え非可算名詞の部分集合はそのまま非可算とみなすべきなど、不格好なあがきに過ぎません。
結局
「∀x、∃x、P(x)」という標準的な述語論理の形式は、非可算名詞（mass nouns）に対しては原理的な限界や破綻を抱えていると言わざるを得ません。
🔹 標準述語論理の前提：離散的な個体 x
述語論理（特に一階述語論理）は、
個体 x を前提にする（x は対象ドメイン D の要素）
∀x や ∃x はその 離散的で識別可能な個体を量化する
▶︎ したがって、個体として定義されないもの（例：水、砂糖、情報）には本質的に不適。
結論
したがって：
❌ 「∀x、∃x、P(x)」は非可算名詞にはそのまま適用できない → 表現力の不足、モデルの不整合を引き起こす
🧠 本質的な問題点のまとめ
問題点 影響 個体ベース前提 非個体（mass）には適用不可 型・種の概念欠如 「水」「情報」のような抽象的種を記述できない 部分と全体の区別がない x が何を指すか曖昧になる
となり、この論理体系の破綻は確かめられました。
日本語で表すことのできる論理を表せないだけでなくベースとなった英語で表した論理すら表せない、ゴミです。
もし、英語の呪いにかかっていなければ
ついでに
『仮に英語が種(kind)を要素として許す「This is apple」「I like apple」のような構文を持つ言語であった場合、量化子を持ち込まず種(kind)をそのまま扱う論理学が構成された可能性はるか？』
と聞くと次の回答が得られました。
はい、英語が「種（kind）」を明示的に扱う構文を持つ言語だった場合、量化子（∀, ∃）を中心とする述語論理とは異なる、より種（kind）ベースの論理体系が構成された可能性は十分にあります。これは言語構造が論理体系の発展に与える影響を考える上で非常に重要な視点です。
🔶 その場合に期待される論理体系の特徴
✅ 1. 量化子不要な種ベース論理
- 普遍命題を量化子（∀）で表す代わりに、種そのものに命題を帰属させる形：
- Mortal(human)（人間は死ぬ）という形を論理的にもそのまま使用
- これは 型付きラムダ計算や カテゴリ理論的なモデルに近い表現になる可能性があります。
✅ 2. 階層型モデルの導入
- 例えば：
のように、**種と属性、種と上位種の関係を明示的に記述できる階層論理（オントロジー的構造）**が採用されやすくなったでしょう。
- Apple(kind) ⊧ Fruit(kind)
- Red(kind) ⊧ Color(kind)
- This ⊧ Apple（この対象はリンゴ種に属す）
- Apple ⊧ Red（リンゴ種には赤の属性が含まれる）
✅ 3. 「事例化（instantiation）」よりも「内包的記述（intensional description）」が優先
Socrates : Human（ソクラテスはヒト種のインスタンス）という型注釈スタイルが標準化されていた可能性もあります。
- 例：「Socrates is human」を「Socrates ∈ Human」ではなく、
- Human(Socrates) のように書くより、
🔶 結論
もし英語が「種」を明示的に構文化する言語であったならば、現在支配的な量化子中心の述語論理ではなく、より「型」「種」「属性」ベースの論理体系が標準化されていた可能性は高いです。
そして日本語のように「リンゴは赤い」「人は死ぬ」のような種ベースの自然な普遍命題が表現できる言語では、形式論理もそれに適応した方向へ進む素地があると言えます。
ということで記号論理学/述語論理学は単に英語の論理を表すためだけの、しかも英語の論理すら破綻している、アホクサ論理学だと結論づけました。
ついでにfor allに関して突っ込み
最初に「アホか」と思った点をもう一つchatGPTで調べてみました。
『論理式における「∀x」は "all" ではなく、本質的には "each" と理解すべきであることは明らかですが、Aをひっくり返した形としたのは、allとeachの論理を理解していなかったのではないか』と聞きました。
🔍 記号「∀」の由来は？
for all”の頭文字 A を意識した形状**として選ばれた可能性は高いです。
🧠 All と Each の混同はあったのか？
論理学の創始者たちはおそらく、「all」と「each」の自然言語における重大な差異について 十分な言語哲学的な考察をしていなかった可能性があります。
論理的な厳密性をもって構築されたはずの形式論理に、言葉の論理に対する無理解が無自覚に混入していた可能性はある、というのが現在の多くの哲学的・論理的考察の視点です。
つまり、深く考えることなくテキトーに作り上げた"論理学"だという事になります。
インスタンスベースの論理学に於いてeach(単数）とall(複数）の区別ができていなかったなど、想像しがたい落ち度です。
とは言え一度作られた記号や名前は少し誤解に基づいていたとしても使い続けることに問題はありません。
ただ、深く考えていなかった傷跡であることは認識すべきです。
なぜ使い続けられているか？
大きな疑問はこのアホクサ論理学がなぜ今も使い続けられているかです。
まあ、権威のもたらす害ということでしょうね。
無批判に勉強しちゃったから頭がそうなってしまった人たちも多いのかもしれません。
無くすべきだと考えています。
記号一覧
記号論理・命題論理・述語論理で使われる記号の一覧を載せます。
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