★星は暗いのではなく小さいのです－４

先の記事★星は暗いのではなく小さいのです－３ で星の像の明るさに関する荒い計算をしましたが、 像をどこまで絞れるか分からないままの計算でした。

星の明るさと眼の関係に関して富山市科学博物館
 http://www.tsm.toyama.toyama.jp/
に質問を出したところとても詳細な回答を頂きました。
眼の結像限度は1μm位だそうです。

で、それを踏まえた計算をしました。

 眼の集光結像限界と像の明るさ

眼が網膜上に作る像は大凡直径1μmが限度だそうです。

ボケを含む像を次のような単純モデルにしてみました。

瞳を通る光は遠くなるにつれて距離の２乗分の１で暗くなりますが、 遠くなるにつれて像面積は距離の２乗分の１で小さくなるため、 この関係が維持されている場合、距離が変わっても明るさは変わりません。
しかし像がボケのサイズにまでなると面積が一定になってしまいますので、 瞳を通る光の減少に伴い暗くなっていきます。

 おおよその計算をしてみます

太陽が遠くなっていくモデルでおおよその計算をしてみましょう。

• 瞳径は2mm（明順応時）～5mm（暗順応時）
• 網膜上の太陽の直径は150μm
• 網膜上のボケの直径は1μm

直径は距離に比例しますので、 像の明るさは150天文単位までは一定、それ以上は 距離の２乗に反比例します。

太陽までの距離の比をnとし,n=1の時の瞳面の明るさを1とすると
  像のサイズ:
    n=1～150
      (150/n)μm
    n>150
      1μm 
  瞳面の明るさ
    1/n^2
  瞳面の明るさと像面の明るさの比（瞳径を2mとして）
    n=1～150
       ((1/n^2)*(((2000/(150/n)^2)
          =((1/n^2)*(((2000)*(n/150)^2)
            =1*((2000/150)^2)
              =177
    n>150
       ((1/n^2)*((2000)^2)
           =4000000/(n^2)
  瞳径が5mmなら
    n=1～150
       (5000/150)^2=1111
    n>150
       25000000/(n^2)

単純に距離の２乗に逆比例する場合と、このモデルでの明るさの変化をグラフにしました。

縦軸はレンズ面での明るさの何倍になるかです。横軸は天文単位です。

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瞳径5mm（暗順応時）のデータを重ねたものを載せます。

明順応～暗順応のレンジって結構大きいんですね。

縦軸は網膜像面の明るさを現在の位置での瞳径2mm時（明順応時）を１として10の対数で表したものです。 レンズ面の明るさも付け加えました。

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位置を４光年先まで動かす例を載せます。

太陽面と月面の明るさの差が10の6乗程度ですので、 -6乗のラインまでは何の問題もなく、眩しすぎる程に、見えるはずです。

位置を50光年先まで動かしてみました。

30～40光年先くらいまではなんとか見えるんじゃないですかねえ。雑な計算ではありますが。

「光子」など持ち出す必要は全くありません。

 視細胞の光感受性の限度は

まだ、なぞです。いずれ。