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◆双子のパラドクスと同等性と観測系

予めことわっておかなければなりませんが、この記事では光速との比は「時空」という 概念内に閉じ込めており、かつ図として縦横比の意味を明確にしておらず、 回転時にも相似を保つなど、精密な計算を与えるものではありません。
なにより加速系を完全に無視しています。
しかしながら、「双子のパラドクス」を対称性を持った無理のない答えに導くもの になると考えています。

 双子のパラドクスの罠:非対称

「双子のパラドクス」では宇宙旅行をしない方からの見方しか与えられません。
仮にここではこれ以降、とどまっている方を妹、旅行する方を兄と呼びます。
「双子のパラドクス」では妹の視点(系)でしか語られることがないのです。兄の 方から見ても妹の方が時間は遅くなるというのがこれが「パラドクス」であるという 根本であるにも関わらずです。

ここでは、

  • 兄の方の系を基本に置くとどうなるか?
  • 妹が後から追いかけるとどうなるか?
  • 双方旅行するとどうなるか?
といった当然疑問となる点を検証します。

 系と時空距離と時間

妹の系の時空と兄の系の時空を並べてみます。下方向が時間の流れ、横方向が空間距離です。 分れた後の形は同等であることが分かります。妹の系で考えて兄の時間は遅くなることを 認めるなら、同等に兄の系で考えると妹の時間は遅くなっているのです。

時間はこの時空図の同一縦位置(青の点線で示しました)で、長い距離を移動する程遅くなると考えられます。

観測系自体に加速を持ち込むことは考えません。

 妹の系

兄が往復する図を示します。双子のパラドクスで一般的に検証されるものです。

行きも帰りも兄の方が時間が遅くなるとされます。
前節の説明と合わせて考えると、行きも帰りも兄の方が長い時空を走っており、 遅くなるのは兄の方となります。

ただこの説明はあくまで妹側からのもので、これだけで納得できるものとは 到底思われません。

 兄の系

兄の系ではどうなるでしょう?
兄の系は行きの系と帰りの系があります。

まず兄の行きの系。

この系で考えると、行きの間、妹の時間はやはり遅くなります。

しかし、帰りは、妹の時間の遅くなり方以上に兄の時間が遅くなることが分かります。

傾きは変わりますが、全体としての時空距離は兄の方が長くなっています。

次は兄の帰りの系。

この系でも、帰りの間、妹の時間はやはり遅くなります。

しかし行きの間は妹より兄の方が遅くなっていることが分かります。

傾きは変わりますが、全体としての時空距離は兄の方が長くなっています。

 中間の系

系は別に双子と同じ速度のものを選ぶ必要はありません。

中途半端な系を選んでみましょう。

当然ではありますが、 傾きは変わりるものの、全体としての時空距離は兄の方が長くなっています。

結局どの系で考えても兄の方が時間が遅くなるのです。

 妹が追いかけるとどうなるか?

兄が戻ってくるのではなく、途中で妹が追いかける場合はどうなるでしょう?

兄がとどまり、妹が宇宙旅行をすることと同じである事がわかります。

妹と兄の時間の遅れを決めるのは、最初にどちらが飛んだかではなく、最終的にどちらが どれだけ時空ルートとして周り道をしたかなのです。

 双方飛んでいくとどうなるか?

片方だけが飛んでいくのではなく、双方が同等に分れ、再び出会うことを 考えてみます。

双方が同等に分れ、同等に引き返す場合は、同じ時空距離となり同じだけ時間が 経過します。

少し差がある場合はその時空距離に応じ時間経過が異なることになります。

それらは観測系に依存しません。

 複雑なルートの場合

基本的にはどのようなルートを採っても同じ考え方をあてはめることができます。

何れの場合も時空距離の長い方が時間が短く、これは観測系に依存しません。

本来はこれに一般相対論的時間の遅れが加わります。
余程の速度じゃない限り 多分重力のある地球にいたさくらの方が宇宙をさまよった寅さんより 若いんじゃないかなあ。。いやいや、特にさくらと寅さんな訳じゃないって。

 注意

ここの記事での説明では加速が固有時間に与える効果を無視しています。

これを無視した説明はある意味簡略化の域を超えインチキに近いものです。
この記事は「対称性」を主眼に置き、実際にどのくらいの時間経緯の差があるか を外したため、このように取り扱っています。

経路の各微小領域での速度による時間経緯を経路分単純積分している訳ですが、 精密に計算するためには、速度の変化の時間経緯に対する寄与分を組み入れる 必要があります。

もし、加速を考慮せず単純に経路速度による積分を行っているだけで、 かつ「加速を無視した」ことを述べていない説明を見たら、インチキと 決めつけて構わないと思っています。

 観測系の切り替え、または観測系自体の加速は?

う~ん。。。。

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実は、この記事の内容は、はるか以前の記事 ◆双子のパラドクスのパラドクス;なぜ片方だけ走る(2007/11/9) に書きかけていtたものです。
ただ、光速を持ち込まない図は、世の中のインチキ相対論と同じような 気もして躊躇していました。
もう4年も前なんですねえ。。。

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寅さんとさくらは双子じゃない。はい、もちろん分かってます。
旅から戻ってきたというのが分かりやすいかなと。
もちろん、双子のパラドクスの双子が本来一卵性双生児をイメージ していることも分かっています。当初A,Bで書き始め、ちょっと不自然 なので兄、弟とした処、混乱してきたので、宇宙に旅に出る方を兄、地球葛飾柴又 に残る方を妹としました。
まあ、本質的には2個の時計でも良い訳ですし、こだわることはない。

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