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◆長さに関するローレンツ変換式を導く

 移動体の同時性と静止系からの計測

2点間の距離を定める場合、当然、同時に2点の位置を定める必要があります。
同時性の確認方として、2点の真ん中から光信号を送り2点それぞれが受け取った 時点を同時と見なすことができます。
光速は一定です。移動する2点(および中点)の同時性、および距離はどのように 計測されるでしょうか?

静止空間で計測する2点の距離(長さ)は、移動空間での同時性を考慮した 「本来の距離(長さ)」より 縮みます。

では、一体どのくらい縮むのか計算してみましょう。
この縮みがローレンツ短縮になっているはずです。

次の図は縦を時間軸、横を空間軸としています。
a-d が 2L 、a-c ,c-d が L です。
a-d の長さのロケット隊は速度 v で移動します。 中央の c から出た光は速度  で広がり、 静止空間時の t1 で位置 b に於いて、 後尾ロケットに到達し、静止空間時の t2 で位置  e  に於いて先頭ロケットに到達します。
移動体の同時刻を考慮すると b-e がロケット隊の本来の長さであると言えます。(本当かな?)

縮んだ割合を計算してみましょう。

本来の長さ be は ad から  ab を引き、 de を足したものです。

まず ab を L  v , C の式で求めます。
ab=v×t1 、 bc=C×t1 、 ac=L
なので

となります。

次に de L  v , C の式で求めます。
de=v×t2 、 ce=C×t2 、 cd=L
なので

となります。

従って be は

となります。

移動体同時補正を行った長さ be と静止系距離  ad の比は

となります。

「あれっ?これ、ローレンツ変換の2乗じゃん。変だな」(次項に続く)

 相対補正(えっ?なんかご都合主義的な)

実は be を 「移動系内で計測する(移動体自身を静止系とする)本来の長さ」と考えるのは間違っています。

be 、 ad は何れもこちらの静止系での計測長です。

be をあちらの移動系で計測したものが「本来の長さ」なのです。
本来の長さを X 移動系と静止系(あちらとこちら)で計測される長さの比を  γ  とすると
X = be/γ
Xγ=be
be=Xγ
となります。
また静止系で同時計測した長さ ad は
ad=X/γ
となります。

従って、

即ち、求めたい比 γ は

となります。

おお、ローレンツ変換が出た!でも微妙に納得しづらいような。予め「立場による変化」を 式に仕組むのはなんかずるい。結果に向かって辻妻合わせをしたようにも 見える。とは言え、一応値は求められました。

 だからと言って、それは縮んだことになるのか?

確かに、計算上は縮んだ状態にあります。

でも、それは本当に

  • 移動を開始することによって
  • 縮んでいない状態(X)から縮んだ状態(X/γ)に移行した
したのでしょうか?

実は2点が同時加速すると、加速により同時性のずれが起こり、2点の 距離は長くなるのです。そしてちょうどその分縮みます。
つまり「伸びるけど伸びない」または「縮むけど縮まない」というのが 実際に起こる事柄なのです。

詳細は次回の「妄想物理学」記事で。

 補足:誤解してはいけないこと

ここで見ている同時性はあくまで先頭と後尾のものです。中点から 光が出た時点と、先頭でそれを受けっとった時点は、当然 同時ではありません。
ロケット隊の座標で計測すると、中点から出た光は同時に 先頭と後尾に到達します。この「同時に起こる事象(イベント)」を 捉えているのです。

 補足2:誤解してはいけないこと2

光を発する、光が到達するといったイベントの起こる「場所」は、 どちらの空間から見ても同じです。
イベントの発生した場所が異なるのではなく、同じ場所と場所の 距離が、立場によって異なるのです。

 補足3:両側から光を出し中央で受けても同じ

両側(通常列車の先頭と後尾)から光を 出して中央で受けるという形での説明もあります。

同じです。

 数式の得かた

数式は次の記述からオフライン処理で作成したMathML-htmlをFirefoxで表示したものを キャプチャしました。

ab = L@{ab%ac} = L@{ab%{bc+ab}} = L@{{v×t1}%{C×t1+v×t1}} = L@{v%{C+v}};
de = L@{de%cd} = L@{de%{ce-de}} = L@{{v×t2}%{C×t2-v×t2}} = L@{v%{C-v}};
be = 2L-ab+de = 2L-L@{v%{C+v}}+L@{v%{C-v}}= L@(2-v%{C+v}+v%{C-v});
=L@(2-{v@(C-v)}%{(C-v)@(C+v)}+{v@(C+v)}%{(C-v)@(C+v)})
=L@(2-{v×C-v^2}%{C^2-v^2}+{v×C+v^2}%{C^2-v^2});
=L@(2+{-(v×C)+v^2+v×C+v^2}%{C^2-v^2})
=L@(2+{2@v^2}%{C^2-v^2})
=2@L@(1+{v^2}%{C^2-v^2});
=2@L@({C^2-v^2}%{C^2-v^2}+{v^2}%{C^2-v^2})
=2@L@{{C^2}%{C^2-v^2}}
=2@L@{1%{1-{v^2}%{C^2}}};
be%ad=be%{2@L}=1%{1-{v^2}%{C^2}}=(1%√{1-{v^2}%{C^2}})^2;
be%ad= {γ@X}%(X/γ)=γ^2=(1%√{1-{v^2}%{C^2}})^2;
γ=1%√{1-{v^2}%{C^2}}
%は分数、@は表示しない掛け算、^は累乗、{...}は範囲です。 範囲は例えば分数の分子がどこからどこまで、分母がどこからどこまで かといったことを指定するのに用います。

これに関する記事を ◆HTML5-MathMLを実用的にする式変換ツールに載せています。

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