◆プラチナ比とカッパー比

四角形の一部をある約束にそって切り取ると残った部分が前の四角形の 相似形になっている辺の比率にプラチナ比とカッパー比があります。

プラチナ比は長辺の長さを2/3を切り取ると、残りが元の比率を維持するものです。
辺の比は１：√３ 対角線の角度は60°,30°となっています。つまり三角定規の比率です。

カッパー比は、短辺の長さの正方形２個分を削除すると、残りが元の比率を維持する ものです。
辺の比は１:(１+√２)となっています。

他比率（シルバー比、黄金比、プラチナ比、カッパー比、正方形、TV、HD-TV、アイアン比）との比較を載せます。 なお「黄金比」以外の「金属比」名は必ずしも一般に認められた 名前ではありません。

(こう並べると1:√3がバランスよく、 黄金比は妙に寸詰まりに見えます)

アイアン比は「長辺の3/4を切り取る」または「短辺の長さの正方形の1.5倍を切り取る」 と残りが元の比率を維持するものです。
これは３つの流れ、1/nにしても同じ比率、n個の正方形をとっても同じ比率、整数比 の合流したものと言えます。

プラチナ比と黄金比に関しては ▼動画で見せるプラチナ比と黄金比の仕組みを参照してください。

三角定規に関し ◆3:4:5と1:2:√3と3角定規とTVと黄金比とに記述があります。

 プラチナ比とカッパー比を算出する

（１）プラチナ比

プラチナ比は次のように導き出されます。

（２）カッパー比

カッパー比は次のように導き出されます。

 プラチナ比とカッパー比を算出する（MathMLによる数式)

以下にMathMLを用いた数式を載せます。残念ながらMathMLをサポートしていないブラウザでは 無意味な項目の並びが見えるだけとなります。
MathMLに関しては HTML5,MathMLを使ってみるを参照してください。
なお、前項の数式は本項の表示をキャプチャして編集したものです。

（１）プラチナ比

プラチナ比は長辺をx、短辺を1とすると次のように現されます。 $\frac{x}{1}=\frac{1}{\mathrm{x/3}}$

右辺の分母、分子に３をかけると $\frac{x}{1}=\frac{3}{x}$

両辺にx をかけると $x^2=3$

即ち $x=\pm \sqrt{3}$

となります。比は正の値なので+を採用します。 $\frac{x}{1}=\sqrt{3}$ めでたしめでたし。

(2)カッパー比

黄金比は長辺をx、短辺を1とすると次のように現されます。 $\frac{x}{1}=\frac{1}{\mathrm{x-2}}$

(x-2)を両辺にかけます $x^2-2x=1$

両辺から1を引くと次の２次方程式となります。 $x^2-2x-\mathrm{1\; <mo>=</mo>\; <mn>0</mn>}$

２次方程式 ${\mathrm{ax}}^2+\mathrm{b}x+c=0$ の解は $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ なので、a=1,b=-2,c=-1を当てはめると $x=\frac{-\left(-2\right)\pm \sqrt{{\left(-2\right)}^2-4\times 1\times \left(-1\right)}}{2\times 1}$

即ち $x=\frac{2\pm \sqrt{8}}{2}=\frac{2\pm 2\sqrt{2}}{2}=1\pm \sqrt{2}$ となります。

正の値となるはずなので $\frac{x}{1}=1+\sqrt{2}$ となります。めでたし、めでたし

＃＃＃ 2011/6/12

firefox4のMathMLでは分数の分母に<mrow>で複合式を入れると 表示が壊れることが分かりました。さしあたって"x/3"という式を <mi>に入れてごまかしました。
これまでもバージョンによって動いたり動かなかったりしています。
本当にfirefoxは不安定で困ります。結局企業はIEになっちゃいますよねえ。。。。

＃＃＃ 2012/8/24:プラチナ（白金）比とシルバー（白銀）比

この記事では当初 １:√２ をプラチナ比（白金比）、 １:√３ をシルバー比（白銀比） と呼んでいましたが、逆の呼び方が多いようなので、それに従いました。