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◆時間に関するローレンツ変換式を導く

時間に関するローレンツ変換を求めてみましょう。

右の図の青と赤のバーは同じ長さです。違いは青は観測者に 対して静止していて、赤は動いていることです。

バーの端から出た光が、反対の端に達し、往復することを 考えます。

光の速度は、観測者に対して一定です。

すると、静止している青と、動いている赤で、往復に必要な 時間が異なることが分かります。
光の進む距離が青はバーの長さ分の往復分なのに、赤では白い線で表される 長いものとなるからです。

青と赤は同じバーの長さを光が往復するのですが、赤は より長い時間を要しているということは、移動している赤の動作は静止している青より遅くなっている、 即ち赤の時間の進みが観測者に比べ遅くなっていると言えます。

どれだけ遅くなっているのか計算してみましょう。

得たい式は、LとXYの比率が、バーの移動速度でどのように変わるかです。

バーの速度をV、光速をCとして計算式を出しています。

Lは最終的には式から消去され、静止系の時間、移動系の時間、 光速度、移動速度だけの式になります。

単純な三平方の定理を用いて、おなじみのローレンツ変換式 が導き出されます。

(式の変形説明はくどすぎる程細かく行っています。)


このように、 ごくごく単純に時間に関するローレンツ変換式が得られました。

これで特殊相対論の"時間"に関する理解ができたといえるでしょうか?

いいえ。この式が示しているのは、観測系に対して光速が一定の 場合移動対象の時間が遅れるというものではありますが、 向こうから観測した場合はどうなるか、果たして無矛盾な 論理となっているのかは全くここでは示していません。

即ち、まだ「相対」論ではないのです。一方論です。

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なんで移動方向と直交するバーを使うのかはいずれ。

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時間は長さや重さに比べ、単純です。
向こうとこちらの時間の進みが異なっていてもなんの問題も ありません。
長さの場合はどのようにずれて行くのかという問題があります。
重さにいたっては、重くなるという表現が、即ち重力場を生む ことか?という問題があり、気楽に「重くなる」と言えるもの ではありません。

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冒頭の動画は実際には観測不能です。これは観測者座標にいる 神様目線であり、実際の観測者は光(またはなんらかの情報) が対象物から到達して初めて観測できます。移動している 座標からの光(またはなんらかの情報)はドップラー効果 による時間短縮または時間伸張が発生します。
ローレンツ変換(時間伸張のみ)とドップラー効果による 時間短縮が起こる場合、さて、どっちが強いか。即ち どう"見える"か
◆ローレンツ変換vsドップラー効果に記事を載せました。

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ローレンツ短縮に関する記事を ◆長さに関するローレンツ変換式を導くに載せました。

### 2015.3.6
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