◇鏡像演算Ｑ＆Ｑ

鏡像の演算は３次元の場合

• (x,y,z) -> (-x,-y,-z)

で表されることが多いと思います。

これは鏡像を一般化したものと言えるのでしょうか？

一見

• (x,y,z) -> (-x,y,z)

に比べ、ｘを特別視しない分、一般性が高いような気がします。

でも、本当にそうでしょうか？
x,y,z全軸を使っているとは言え、結局

• (1,1,1)軸を反転し、回転を加える

という特別な像に過ぎません。
xだけを反転することとの差として、回転が加わる点がありますが、 これが一般化につながるのでしょうか？
確かに鏡像は

• 任意の軸を反転し
• 任意の回転を施し
• 任意の平行移動を行ったもの

の総称です。
xの反転だけでは特定軸の反転に過ぎません。
とはいえ、ｘ、ｙ、ｚ全てを反転したところで特定軸を反転していること には変わりはありません。

この(-x,-y,-z)の"全軸変換"が、"たまたま先頭になった軸変換"(-x,y,z) と大きく異なるのは、３次元（奇数次元）でしか鏡像を表さないことです。

• たまたま先頭軸変換
• 二次元：(x,y) -> (-x,y) ：○
• 三次元：(x,y,z) -> (-x,y,z ) ：○
• 四次元：(x,y,z,w) -> ( -x,y,z,w ) ：○
• 全軸変換
• 二次元：(x,y) -> (-x,-y) ：×(鏡像にならない）
• 三次元：(x,y,x) -> (-x,-y,-z )：○
• 四次元：(x,y,z,w) -> (-x,-y,-z,-w) ：×（鏡像にならない)

鏡像演算としては"たまたま先頭軸変換"(-x,y,z)の方が"全軸変換"(-x,-y,-z) より一般性が高いように思えます。
(-x,-y,-z)の方が各軸平等で一般性が高いというのは実際には意味のない 幻想のように思えるのですが、どうなんでしょう。（残念ながら、声高に 言う程の見識は持ち合わせていません）

不勉強のため、あるのかないのか知りませんが、次元を限定しない 「鏡像演算子」のようなものは考えられないでしょうか？
軸を特定せず鏡像を示す演算子です。

• mr(x,y,z)

もっとも、その実体に関しては今は全く不明です。複素数 を使ったものを作れそうな気もしているのですが、良く分かりません (複素数を使うと次元が増えるだけ？）。
「鏡の数学」などという一般書を誰か（もちろん、ちゃんと分かっている人） 書いてもらえないでしょうか？
既に有るかなあ（と気になってネットで検索したけど出てはこなかった）。

＃＃＃　補足
生物学などで、左手系、右手系がなぜ有るかを示すために、
３次元では

• A-B-C
• A-C-B（どれか２つを入れ替えたもの）

の２つの系がある、とすることがあります。
その３つは回転させても、同じになることはありません。
回転させてみると、

• (A-B-C) -> (B-C-A) -> (C-A-B)
• (A-C-B) -> (C-B-A) -> (B-A-C)

となり、２つの系が同じ形となることはありません。

良く出来た説明で、納得してしまいそうですが、 これも２次元、４次元では成り立っていません。
他に適用できない論理は論理と言えるのでしょうか？

＃＃＃　蛇足(にしてもくだらなすぎる）
最近顔文字を見すぎるせいか
(-x,-y,-z)
が顔文字風に見える...(^_^;;;