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◇鏡像演算Q&Q

鏡像の演算は3次元の場合

  • (x,y,z) -> (-x,-y,-z)
で表されることが多いと思います。

これは鏡像を一般化したものと言えるのでしょうか?

一見

  • (x,y,z) -> (-x,y,z)
に比べ、xを特別視しない分、一般性が高いような気がします。

でも、本当にそうでしょうか?
x,y,z全軸を使っているとは言え、結局

  • (1,1,1)軸を反転し、回転を加える
という特別な像に過ぎません。
xだけを反転することとの差として、回転が加わる点がありますが、 これが一般化につながるのでしょうか?
確かに鏡像は
  • 任意の軸を反転し
  • 任意の回転を施し
  • 任意の平行移動を行ったもの
の総称です。
xの反転だけでは特定軸の反転に過ぎません。
とはいえ、x、y、z全てを反転したところで特定軸を反転していること には変わりはありません。

この(-x,-y,-z)の"全軸変換"が、"たまたま先頭になった軸変換"(-x,y,z) と大きく異なるのは、3次元(奇数次元)でしか鏡像を表さないことです。

  • たまたま先頭軸変換
    • 二次元:(x,y) -> (-x,y) :○
    • 三次元:(x,y,z) -> (-x,y,z ) :○
    • 四次元:(x,y,z,w) -> ( -x,y,z,w ) :○
  • 全軸変換
    • 二次元:(x,y) -> (-x,-y) :×(鏡像にならない)
    • 三次元:(x,y,x) -> (-x,-y,-z ):○
    • 四次元:(x,y,z,w) -> (-x,-y,-z,-w) :×(鏡像にならない)
鏡像演算としては"たまたま先頭軸変換"(-x,y,z)の方が"全軸変換"(-x,-y,-z) より一般性が高いように思えます。
(-x,-y,-z)の方が各軸平等で一般性が高いというのは実際には意味のない 幻想のように思えるのですが、どうなんでしょう。(残念ながら、声高に 言う程の見識は持ち合わせていません)

不勉強のため、あるのかないのか知りませんが、次元を限定しない 「鏡像演算子」のようなものは考えられないでしょうか?
軸を特定せず鏡像を示す演算子です。

  • mr(x,y,z)
もっとも、その実体に関しては今は全く不明です。複素数 を使ったものを作れそうな気もしているのですが、良く分かりません (複素数を使うと次元が増えるだけ?)。

「鏡の数学」などという一般書を誰か(もちろん、ちゃんと分かっている人) 書いてもらえないでしょうか?
既に有るかなあ(と気になってネットで検索したけど出てはこなかった)。

### 補足
生物学などで、左手系、右手系がなぜ有るかを示すために、
3次元では

  • A-B-C
  • A-C-B(どれか2つを入れ替えたもの)
の2つの系がある、とすることがあります。
その3つは回転させても、同じになることはありません。
回転させてみると、
  • (A-B-C) -> (B-C-A) -> (C-A-B)
  • (A-C-B) -> (C-B-A) -> (B-A-C)
となり、2つの系が同じ形となることはありません。

良く出来た説明で、納得してしまいそうですが、 これも2次元、4次元では成り立っていません。
他に適用できない論理は論理と言えるのでしょうか?

### 蛇足(にしてもくだらなすぎる)
最近顔文字を見すぎるせいか
(-x,-y,-z)
が顔文字風に見える...(^_^;;;

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